Начиная с 1966 (или 1967) года,
Э. Ветте опубликовал ряд работ, в которых он сообщал о полученных им
доказательствах непротиворечивости некоторых формальных систем, к которым
относятся и геделевские теоремы о неполноте. Вторая из этих теорем состоит в
том, что такое доказательство непротиворечивости возможно лишь в случае
противоречивости соответствующей формальной системы. Но в силу новых
доказательств непротиворечивости (хорошо формализуемых, как утверждает Ветте)
эти системы непротиворечивы. Таким образом, в метатеории этих систем возникают
коллизии, которые я предлагаю называть «парадоксами Гёделя-Ветте» (G-W). Правда, мне не удалось проверить или хотя бы
приблизительно понять ход доказательств непротиворечивости, о которых пишет
Ветте, или встретить кого-либо из тех, кому это удалось. Быть может, Ветте
сознательно пишет на им же введенном новом языке, не давая читателям ключа.
Однако то немногое, что я сумел понять в его работах, согласовывается с моими
идеями настолько, что я не могу говорить о последних, не упоминая G-W.
До 1979 г. я выработал несколько
«прототеорий» (касающихся употребления модальностей, семиотических концепций,
отождествлений и т.д. в основаниях математики), которыми был намерен восполнить
пробелы, образующиеся после устранения глубоко укоренившейся веры в
единственность натурального ряда чисел (0, 1, 2, ...). Об этом я
уже писал и, по-видимому, вскоре буду писать вновь. Расщепление этого ряда
привело к возможности погрузить казавшиеся трудными проблемы оснований теории
множеств в некое месиво прототеоретических конструкций, включившее в себя и
разного рода парадоксы, и способы их преодоления. G-W среди этих парадоксов не было, потому что
употребление различных натуральных рядов приводило к пересмотру тех концепций,
к которым применимы геделевские приемы арифметизации метатеорий. Но, начиная с
упомянутого года, появилась возможность успешно заменять различные
«бесконечные» ряды чисел объектами, финитными в «традиционном» смысле. Возникли
финитные (в этом смысле) доказательства непротиворечивости для (расширенной)
системы Цермело-Френкеля (ZF),
«логика» которой была, однако, несколько урезана.
Лишь в конце 1988 г. мне удалось
преодолеть эти «логические» ограничения. Возникли финитные доказательства
непротиворечивости для систем ZF
(с недостижимыми числами) и T,
т. е. шпеккеровской разновидности куайновской системы NF (на которую тоже были в 1991-92 гг., распространены
такие доказательства). Одновременно и автоматически возник, в конце работы, G-W а
также некоторые «Re-парадоксы», состоящие в некоей формализации
относительности понятий конечности и бесконечности, примененных к одному и тому
же «множеству». Для оснований математики эти парадоксы не вызывали опасных
проблем, так как их удается устранить, пользуясь прототеориями.
Возникший труд был весьма обширен и
читателю пришлось бы преодолеть (вряд ли только один) увесистый том прежде, чем
добраться до важных результатов, оказавшихся в самом конце. Публикация такого
материала по меньшей мере затруднительна. Теперь появляется доказательство
противоречия в арифметике, получаемое путем фиштизации доказательства второй
теоремы о неполноте. Доказательства непротиворечивости ZF и других важных систем при этом даже не упоминаются.
Значение новой работы для этих доказательств состоит лишь в усмотрении того,
что препятствие, казавшееся вряд ли преодолимым, хотя и очень серьезно, но не
относится специально к таким доказательствам.
Причину появления противоречивых
доказательств я предлагаю усматривать в широком распространении
«реалистических» (или «платонических») подходов за пределами их обоснованной
применимости. «Сущности» явлений иногда расщепляются незаметно для
рассуждающего, который не догадывается о необходимости вовремя изменить
обозначения. Объекты, которые следовало бы
обозначить по-разному и различать, сливаются для рассуждающего в один. При
пересчете таких объектов легко может возникнуть путаница.
Это происходит в случаях
самсреферентнюс обозначений. Такие обозначения встречаются и в доказательствах теорем
о неполноте, и, вполне сходным образом, в заданиях этих противоречивых
«доказательств». Встречаются они и в античном парадоксе лжеца. Рассматривая
фразу «я лгу», следует различать (по крайней мере) две вхождения слова «лгу»: в
запись этой фразы (скажем, на бумаге) и в то вхождение этой фразы, которое этой
записью упоминается. Гёдель явно отмечает связь своих доказательств с этим
парадоксом лжеца, но соответствующего различения не сделал, заменяв
его отождествлением некоторой формулы G (S (v p)), расписанной в одной из строк его доказательства и
имеющей в его нумерации номер, равный S (v p), в этом ее «явном» вхождении и другом, которое этим
явным вхождением ее части «S (v p)» упоминается - да еще не просто, а особым образом,
так что ёе статус во втором вхождении оказывается несовместимым с ее статусом в
первом.
Я называю такие отождествления
«диагональными», и притом «отрицательными». Иногда они бросаются в глаза, как в
обсуждаемых сейчас случаях, но это отнюдь не означает, что их неявного
употребления легко избежать с помощью формального критерия, отметающего любые
возможности злоупотреблять ими в рассуждениях. «Диагональные отождествления»
допускают необозримое множество видоизменений, к которым трудно применять
(заранее данные) критерии. Так, если S (v p) введено как V*,
получаемое из S (v p A)
замещением переменной A
посредством нового вхождения v p ,
отождествляемого с прежним вхождением v p путем «диагонального» отождествления, то нелегко
определить, как это V* будет отличаться от результата применения нескольких
шагов, при которых A
замещается S (v p , v p ) сперва посредством B+1/3 v p а затем в полученном результате посредством 2/3 v p, с последующим упрощением суммы 2/3 v p + 1/3 v p заменой ее на v p (модифицируя пример, легко избежать употребления
дробей.)
Поэтому я предлагаю иной подход,
сходный с тем, которым воспользовался Г. Кантор, когда «диагональные» подстановки - или
отождествления - стали возникать при попытках пересчета (десятичных) разложений
действительных чисел, множество таких разложений - а также чисел - было
объявлено им неперечислимым. и это привело к возникновению новых важных
концепций, отнюдь не нелепых.
Также и теперь, при возникновении
«парадоксов», связанных с перечислениями формул языка (скажем) арифметики, я
предлагаю отказаться от того взгляда, будто все эти «формулы» образуют счетную
совокупность. Объекты, допускающие хорошо известный (типа алфавитного)
пересчет, следовало бы называть не формулами, а, скажем, «формулоидами»; не
они, а их конкретные вхождения б математические
выводы должны подлежать истолкованиям и становиться осмыслэнными «формулами».
Противоречия в сфере формулоид могут возникать, как совершенно неудивительные
«контрадикцоиды», от которых далеко до серьезных логических осложнений. Нет
необходимости стремиться к их полному изгнанию, они могут встречаться и в
теориях, непротиворечивость которых прекрасно доказывается - и в этом важная
причина того, что доказательства непротиворечивости могут иметь силу, несмотря
на то, что они даны средствами метатеории, оперирующей взаимно противоречащими
формулоидами.
При изложении прототеорий следует
принимать меры не только к достаточности анализа интуитивной работы с
отождествлениями (и другими «актами прототеорий») для избежания опасной
путаницы, но и к простоте классификаций (этих «актов») и уменьшению новых видов
объектов. Иначе эти виды легко могут стать необозримыми. Поэтому начинать
придется с изложения конкретных парадоксов, по возможности не упоминая о
прототеориях, которые, впрочем, сами, когда придет время, начнут ломиться в ход
традиционных рассмотрений. Значительный пересмотр традиционных взглядов и
результатов становится теперь неотвратимым. С «теоремами о неполноте»,
по-видимому, придется распрощаться, как и с теми следствиями, которые были из
них получены многими авторами, и так же может обстоять дело с некоторыми
аналогами этих теорем.
Сейчас незачем обсуждать, хорошо это
или плохо. Я готов представить свой последний труд к проверке кому угодно, и
должен предупредить, что это потребует напряженных формалистических усилий.
Лишь после осуществления этой стадии можно будет приступить к изложению моих
работ 1988-91 гг. и обновленного изложения прототеорий.
Доказательства утверждений, допускающих
финитную интерпретацию, будут излагаться, по возможности финитными же методами.
XI МЕЖДУНАРОДНАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ.
ЛОГИКА, МЕТОДОЛОГИЯ, ФИЛОСОФИЯ НАУКИ. — Секции: 1. ЛОГИКА И ОСНОВАНИЯ
МАТЕМАТИКИ. - Москва-Обнинск 1995. — Т.1
стр.29-32